射影定理公式推导过程（射影定理）

1、射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

2、射影定理是数学图形计算的重要定理。

3、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD2=AD·CDAB2=AC·ADBC2=CD·AC由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

4、此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。

5、可以使用相似进行证明，过程略。

6、扩展资料：验证推导①CD2=AD·BD;②AC2=AD·AB;③BC2=BD·AB;④AC·BC=AB·CD证明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2∴2CD2=AB2-AD2-BD2∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2∴2CD2=2AD·BD∴CD2=AD·BD②∵CD2=AD·BD(已证)∴CD2+AD2=AD·BD+AD2∴AC2=AD·(BD+AD)∴AC2=AD·AB③BC2=CD2+BD2BC2=AD·BD+BD2BC2=(AD+BD)·BDBC2=AB·BD∴BC2=AB·BD④∵S△ACB=?AC×BC=?AB·CD∴?AC·BC=?AB·CD∴AC·BC=AB·CD射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

7、射影定理是数学图形计算的重要定理。

8、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD2=AD·CD；AB2=AC·AD；BC2=CD·AC。

9、由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

10、提出者简介欧几里得（希腊文：Ευκλειδη? ，公元前325年—公元前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。

11、他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。

12、他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。

13、欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

14、直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

15、?公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD2;=AD·DB，②BC2=BD·BA?③AC2=AD·AB?④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）AC*BC=2 S ABCCD*AB=2 S ABCAC*BC=AB*CD概述直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

16、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

17、公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。

18、等积式 (4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）折叠直角三角形射影定理所谓射影，就是灯光投影。

19、直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

20、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

21、公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：射影定理折叠证明解：在△BAD与△ACD中，∵∠ABD+∠BAD=90°，且∠CAD+∠C=90°， 射影定理简图∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即 BD2=AD·DC其余同理可得可证射影定理折叠内容AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC2 （即勾股定理）。

22、注： AB2的意思是AB的2次方。

23、证明已知:三角形中角A=90度,AD是高.证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。

24、证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。

25、折叠任意三角形任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

26、注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

27、简单分析一下，答案如图所示是不是相似三角形那一部分的射影定理？