向量平行公式和垂直公式
向量平行公式:向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)
x1y2-x2y1=0
a⊥b的充要条件是a·b=0,即(x1x2+y1y2)=0
向量垂直公式:向量a=(a1,a2),向量b=(b1,b2)
a//b:a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb(λ是一个常数)
a垂直b:a1b1+a2b2=0
向量平行的坐标公式
两个向量a,b平行:a=λb(b不是零向量);两个向量垂直:数量积为0,即ab=0。
坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2)
a//b当且仅当x1y2-x2y1=0
a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0
在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得:a=xi+yj,我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作:a=(x,y)。
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
向量垂直公式证明
1、几何角度:向量A(x1,y1),长度L1=√(x12+y12)
向量B(x2,y2),长度L2=√(x22+y22)
(x1,y1)到(x2,y2)的距离:D=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
两个向量垂直,根据勾股定理:L12+L22=D2
∴(x12+y12)+(x22+y22)=(x1-x2)2+(y1-y2)2
∴x12+y12+x22+y22=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22
∴0=-2x1x2-2y1y2
∴x1x2+y1y2=0
2、扩展到三维角度:x1x2+y1y2+z1z2=0,那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直
综述,对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0成立。
向量的四种运算
四种运算:向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量的数量积。前三种运算结果仍为向量,向量的数量积为实数。
向量的加法、减法和数乘向量的坐标运算就是坐标相加、减和数乘;向量的数量积的代数运算是两向量的模与其夹角的余弦之积,坐标运算是两向量的横坐标之积与纵坐标之积的和。
向量的数量积的代数运算应用较多,常见题型有求向量多项式的乘积及有关求模的问题。此类题在高考中反复考查。务必熟练掌握。
向量的表达方式
1、代数表示
一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。
2、几何表示
向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,向量的大小,也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量,记作长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的记法
印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示。
向量的种类
零向量:长度为0的向量。
单位向量:长度为1个单位长度的向量。
平行向量:也叫共线向量,方向相同或相反的非零向量。
相等向量:长度相等且方向相同的向量。
相反向量:长度相等且方向相反的向量。
平行向量:又称共线向量,是指方向相同或相反的非零向量。零向量和任何向量平行。
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