三棱锥外接球万能公式

一、三棱锥外接球万能公式

设其棱长为a，则外接球半径R=√6a/4 。设A-BCD是正三棱锥，侧棱长为a，底面边长为b，则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。

二、三棱锥外接球定义

三角形旁切圆的圆心,简称为三角形的旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。

三、三角形旁心的性质

设⊿ABC在∠A内的旁切圆☉I1(r1)与AB的延长线切于点P1.内切圆半径为r。

1、三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、旁心到三角形三边的距离相等。

3、三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。

4、∠BI1C=90°-∠A/2.

5、AP1=r1·cot(A/2)=(a+b+c)/2.

6、∠AI1B=∠C/2.

7、S⊿ABC=r1(b+c-a)/2.

8、r1=rp(p-a).

9、r1=(p-b)(p-c)/r.

10、1/r1+1/r2+1/r3=1/r.

11、r1=r/(tanB/2)(tanC/2).

12、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

四、四面体的性质

1、四面体的每一条棱与其对棱的中点确定一个平面，这样的六个平面共点。

2、四面体外接平行六面体的各棱分别平行且等于四面体中连结各对棱中点的线段。

3、四面体的六条棱的六个中垂面共点，这点是四面体外接球的中心，每个四面体有惟一的外接球。