参数方程高中复习资料经典题型

参数方程高中复习资料经典题型本文简介：8用心专心只要你努力一定会有收获！[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中

参数方程高中复习资料经典题型本文内容：

8

用心专心

只要你努力一定会有收获！

[备考方向要明了]

考

什

么

怎

么

考

1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力．

2.以解答题形式出现，难度不大，如2012年新课标高考T23等.

[归纳·知识整合]

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

(3)点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．

如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)

表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．

[探究]

1.极点的极坐标如何表示？

提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

[探究]

2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？

提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θb>0)的参数

方程(φ为参数)中，参数φ的几何意义是什么？

提示：如图，取椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点M作x轴垂线，交以原点为圆心，a为半径的圆于点A，φ就是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(或点M的

离心角)即Ox绕O逆时针转到与OA重合时的最小正角，φ∈[0,2π)．

[自测·牛刀小试]

1．若直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l倾斜角的余弦值．

.

2．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求|PF|.

3．(2012·中山模拟)将参数方程(α为参数)化成普通方程．

4．求参数方程(t为参数)表示的曲线．

5．求椭圆＋＝1的参数方程．

参数方程与普通方程的互化

[例1]

将下列参数方程化为普通方程．

(1)

(2)

———————————————————

将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．

1．将下列参数方程化为普通方程．

(1)(t为参数)；

(2)(t为参数)．

[例2]

(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，求a的值．

———————————————————

与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程，转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题．

2．(2011·广东高考改编)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．

3．(2013·扬州模拟)已知P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的点，求M＝x＋2y的取值范围．

极坐标方程和参数方程的综合

[例3]

(2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.

(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

———————————————————

求参数方程与极坐标问题的转化方法

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．

4．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，求|AB|的最小值．

4种方法——化参数方程为普通方程的方法

消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：

①代入消元法；

②加减消元法；

③乘除消元法；

④三角恒等式消元法.

数学思想——参数方程中的转化思想

在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想．

[典例]

(2012·浙江高考改编)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标．

(1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型，解题方法是将参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围．

(2)对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的．

(2012·朝阳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：(s为参数)和C：(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，求|AB|的长．

1．直线(t为参数)被圆(θ为参数，求θ∈[0,2π))所截得的弦长．

2．(2012·福州模拟)已知点P(x，y)在曲线＋＝1，且

a2＋b2≤3，求x＋y的最小值．

3．已知曲线C的参数方程为α∈[0,2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin＝－.

(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；

(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．

4．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．

(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

(2)判断直线l与圆C的位置关系．

5．(2012·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.

(1)求点A，B，C，D的直角坐标；

(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．

1．(2012·南京模拟)已知圆的极坐标方程为

ρ2＋4ρcos－5＝0.

(1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．

2．(2013·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.

(1)求直线l的直角坐标方程；

(2)点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．